标准线性规划问题形式：

最大化（或最小化）：

c^Tx

满足约束条件：

A·x ≤ b

x ≥ 0

示例问题：生产优化

某工厂生产两种产品A和B：

• 产品A每单位利润100元，需要2小时加工时间和1小时装配时间
• 产品B每单位利润150元，需要1小时加工时间和3小时装配时间
• 每天可用加工时间120小时，装配时间90小时

目标：最大化总利润

SciPy求解代码

from scipy.optimize import linprog

# 定义目标函数系数（注意：linprog默认最小化，所以取负号）
c = [-100, -150]  # 最大化问题转换为最小化

# 不等式约束条件（A_ub * x <= b_ub）
A = [[2, 1], [1, 3]]
b = [120, 90]

# 变量边界（x1 >= 0, x2 >= 0）
x_bounds = (0, None)
y_bounds = (0, None)

# 求解线性规划问题
result = linprog(c, A_ub=A, b_ub=b, bounds=[x_bounds, y_bounds], method='highs')

# 输出结果
print(f"优化状态: {result.message}")
print(f"最优解: 生产A产品 {round(result.x[0])} 单位, 生产B产品 {round(result.x[1])} 单位")
print(f"最大利润: {-round(result.fun)} 元")  # 转换回最大化问题的结果

示例问题：饮食优化

设计最低成本的饮食方案，满足营养需求：

• 食物A：每单位6元，含维生素5单位，蛋白质3单位
• 食物B：每单位8元，含维生素2单位，蛋白质4单位
• 每天至少需要20单位维生素和15单位蛋白质

目标：最小化总成本

PuLP求解代码

import pulp

# 创建最小化问题
prob = pulp.LpProblem("Diet_Optimization", pulp.LpMinimize)

# 定义决策变量
x1 = pulp.LpVariable("Food_A", lowBound=0, cat='Continuous')  # 食物A的数量
x2 = pulp.LpVariable("Food_B", lowBound=0, cat='Continuous')  # 食物B的数量

# 定义目标函数（最小化成本）
prob += 6*x1 + 8*x2, "Total_Cost"

# 添加约束条件
prob += 5*x1 + 2*x2 >= 20, "Vitamin_Requirement"
prob += 3*x1 + 4*x2 >= 15, "Protein_Requirement"

# 求解问题
prob.solve()

# 输出结果
print(f"优化状态: {pulp.LpStatus[prob.status]}")
print(f"最优解: 食物A = {x1.varValue:.2f} 单位, 食物B = {x2.varValue:.2f} 单位")
print(f"最小成本: ￥{pulp.value(prob.objective):.2f}")